The Descartes Challenge

Die Aufgabe

Finden Sie eine zusammengesetzte Zahl \( z > 1 \) mit folgenden Eigenschaften:

Es existieren ganze Zahlen \[ k_{1}, k_{2}, k_{3} \in \mathbb{Z}, \qquad n \in \mathbb{N}, \qquad p > 3, \qquad 2 \nmid p,\qquad 3 \nmid p, \] so dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. Descartes-Bedingungen \[ p = k_{1} + k_{2} + k_{3}, \qquad 4n^{2} = k_{1}k_{2} + k_{1}k_{3} + k_{2}k_{3}. \]
2. Differenzen und Koprimiertheit \[ d = k_{1} - k_{2}, \qquad e = k_{1} - k_{3}, \qquad \gcd(d,e) = 1. \]
3. Eisenstein-Norm und Konsistenz \[ z = d^{2} - d e + e^{2} = \frac{(k_{1}-k_{2})^{2} + (k_{1}-k_{3})^{2} + (k_{2}-k_{3})^{2}}{2} = p^{2} - 12n^{2}. \]
4. Einzigkeit des Descartes-Tripels für \( p \)
   Die Gleichungen in (1) besitzen (bis auf Permutation von \(k_{1},k_{2},k_{3}\)) genau eine Lösung: \[ \{k_{1},k_{2},k_{3}\} \text{ ist das einzige Tripel mit } p = k_{1}+k_{2}+k_{3}, \quad 4n^{2} = k_{1}k_{2}+k_{1}k_{3}+k_{2}k_{3}. \]

Gesucht: Ein solches \( z>1 \) mit \( z \) zusammengesetzt und mindestens zwei Primfaktoren.

Fehlversuche (öffentlich)

Gültiges Tripel einreichen

Um offiziell am Wettbewerb teilzunehmen, geben Sie zunächst oben ein Tripel ein und lassen es prüfen. Wenn alle Bedingungen erfüllt sind, werden die Felder unten automatisch befüllt und der Senden-Knopf freigeschaltet. Der Teilnehmer mit der ersten korrekten Lösung hat einen Anspruch auf eine Prämie im Rahmen einer wissenschaftlichen Auslobung in Höhe von 500,- € (siehe Teilnahmebedingungen).